题目

求证 $\color {red} L = \lim\limits_{n \to \infty}\frac {1+\frac {1}{2}+\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot+\frac {1}{n}}{\ln n} = 1$

解题过程

1. 使用 stolz 公式：

stolz 公式的内容：

对于两个数列 $\color {red}\{a_n\} 和 \{b_n\}$，其中 $b_n$ 是严格单调，且 $\color {red} n\to\infty,b_n\to\infty$

如果极限

$\color{red}\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\Delta a_n}{\Delta b_n} = L$

期中 $L$ 为一个常数

那么极限 $\color {red}\lim\limits_{n\to\infty}\frac {a_n}{b_n} = L$

2. 对于本道题目，$\color {red} b_n = \ln n,a_n = 1+\frac {1}{2}+\cdots+\frac {1}{n}$, 也是调和级数。

$\color{red}\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\Delta a_n}{\Delta b_n} =\frac{\frac{1}{n+1}}{\ln (1+\frac{1}{n})}$

对于 $\color {red} x\to0$, 有 $\color {red}\ln (x+1)∼x$, 所以对于 $\color {red} n \to\infty$，有 $\color {red}\ln (1+\frac {1}{n})∼\frac {1}{n}$,

所以可以得到结果：

$\color{red}\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n}} =\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}= 1$

———————————–后续使用 manim 来动态视频展示解题过程 ————